Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 4, 2025
Latest Analysis MCQ Objective Questions
Analysis Question 1:
/dx किसका समतुल्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 1 Detailed Solution
Analysis Question 2:
मान लीजिए कि [x] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। तब सूची-I का सूची-II से मिलान कीजिए:
सूची - I |
सूची - II |
||
(A) |
|x - 1| + |x - 2| |
(I) |
x = 0 को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है |
(B) |
x - |x| |
(II) |
हर जगह संतत है। |
(C) |
x - [x] |
(III) |
x = 1 पर अवकलनीय नहीं है। |
(D) |
x |x| |
(IV) |
x = 1 पर अवकलनीय है। |
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
महत्तम पूर्णांक फलन:
- महत्तम पूर्णांक फलन, जिसे [x] द्वारा दर्शाया जाता है, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक देता है।
- इस फलन को फर्श फलन भी कहा जाता है। गणितीय रूप से, [x] को x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है।
- महत्तम पूर्णांक फलन पूर्णांक बिंदुओं को छोड़कर हर जगह सतत होता है, जहाँ यह अवकलनीय नहीं होता है।
- अवकलनीयता के लिए, फलन में असंतता के बिंदुओं पर कोई "तीखा कोना" नहीं होना चाहिए।
गणना:
आइए सही विवरणों से मिलान करने के लिए विकल्पों में प्रत्येक फलन का विश्लेषण करें।
- (A) |x − 1| + |x − 2|: यह निरपेक्ष मान फलनों का एक संयोजन है। ये निरंतर और हर जगह अवकलनीय होते हैं, सिवाय उन बिंदुओं के जहाँ निरपेक्ष मान बदलते हैं, जो x = 1 और x = 2 हैं। इसलिए, यह फलन x = 0 को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है।
- (B) x − |x|: इस फलन में निरपेक्ष मान फलन शामिल है। महत्तम पूर्णांक फलन में पूर्णांक बिंदुओं पर असांतत्य है, और इस फलन में निरपेक्ष मान शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि यह हर जगह संतत है लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, यह हर जगह संतत है।
- (C) x − [x]: इस फलन में महत्तम पूर्णांक फलन (फर्श फलन) शामिल है, जो सतत है लेकिन पूर्णांक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, यह फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि पूर्णांक बिंदुओं पर असांतत्य है।
- (D) |x|: यह फलन x = 0 सहित सभी बिंदुओं पर संतत और अवकलनीय है। इसलिए, यह x = 1 पर अवकलनीय है।
सूची-I का सूची-II से मिलान:
- A) |x − 1| + |x − 2|: यह x = 0 को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है, जो सूची-II में (I) से सुमेलित है।
- B) x − |x|: यह फलन सभी स्थानों पर संतत है, जो सूची-II में (II) से सुमेलित है।
- C) x − [x]: यह फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है, जो सूची-II में (III) से सुमेलित है।
- D) |x|: यह फलन x = 1 पर अवकलनीय है, जो सूची-II में (IV) से सुमेलित है।
∴ सही मिलान: A → I, B → II, C → III, D → IV है।
Analysis Question 3:
,
Answer (Detailed Solution Below) 5
Analysis Question 3 Detailed Solution
हल:
अतः सही उत्तर 5 है।
Analysis Question 4:
x की घातों में फलन f(x) =
Answer (Detailed Solution Below) 9
Analysis Question 4 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
f(x) = 3/((1-x)(1+2x)) = A/(1-x) + B/(1+2x)
A और B को हल करने पर हमें प्राप्त होता है:
A = 1, B = 2
इसलिए, f(x) = 1/(1-x) + 2/(1+2x)
अब, हम गुणोत्तर श्रेणी प्रसार का उपयोग कर सकते हैं:
1/(1-x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + ⋯
और 1/(1+2x) = 1 - 2x + 4x² - 8x³ + 16x⁴ + ⋯
दूसरी श्रेणी को 2 से गुणा करने पर:
2/(1+2x) = 2 - 4x + 8x² - 16x³ + 32x⁴ + ⋯
अब, हम f(x) का प्रसार प्राप्त करने के लिए दोनों श्रेणियों को जोड़ सकते हैं:
f(x) = (1 + x + x² + x³ + x⁴ + ⋯ ) + (2 - 4x + 8x² - 16x³ + 32x⁴ + ⋯ )
x2 का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
पहली श्रृंखला से x2 + दूसरी श्रृंखला से x2 = +8 x 2
इसलिए, f(x) के प्रसार में x2 का गुणांक 9 है।
अतः 9 सही उत्तर है।
Analysis Question 5:
मान लीजिए f एक वास्तविक चर का वास्तविक मान वाला फलन है, जिससे सभी n ∈ ℕ के लिए |f(n)(0)| ≤ K है, जहाँ K > 0 है। निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
यदि
अब
इसलिए, (1) सत्य है और (2) असत्य है।
फलन पर विचार करते हैं:
तब
अब
लेकिन
इसलिए,
f(0) = 0
इसके अलावा, f(x) = 0,
इसलिए विकल्प (1) और विकल्प (4) सही हैं।
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माना कि
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
(x, y) = (a, b) के लिए परिभाषित एक फलन f(x, y) को (x, y) = (a, b) पर निरंतर कहा जाता है यदि:
i) f(a, b) = (x, y) = (a, b) पर f(x, y) का मान परिमित है।
ii) फलन f(x, y) की सीमा मौजूद है जैसे (x, y) → (a, b) और (x, y) = (a, b) पर f(x, y) के मान के बराबर है
ध्यान दें:
किसी फलन को किसी बिंदु पर अवकलनीय होने के लिए, यह उस बिंदु पर भी निरंतर होना चाहिए।
गणना:
दिया हुआ:
फलन f(x, y) निरंतर होने के लिए:
f(a,b) = f(0,0) ⇒ 0 (दिया गया)
fx(0, 0) =
fy(0, 0) =
∵ the limit value is defined and function value is 0 at (x,y) = (0,0), ∴ the function f(x,y) is continuous.
Hence, Option 2, 3 & 4 all are correct
Hence, Option 1 is not correct
Hence, The Correct Answer is option 1.
श्रेणी
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
लाइबनीज परीक्षण:
(i) |bn| एकसमान रूप से घटता है अर्थात, |bn+1| ≤ |bn|
(ii)
व्याख्या:
an = (−1)n+1
= (−1)n+1
= (−1)n+1
इसलिए श्रेणी
इसलिए यहाँ bn =
इसके अलावा
इसलिए लाइबनीज परीक्षण द्वारा
अब श्रेणी
इसलिए सीमा तुलना परीक्षण द्वारा, यह P - परीक्षण द्वारा अपसारी श्रेणी है।
इसलिए दी गई श्रेणी सशर्त अभिसारी है।
विकल्प (3) सही है।
आधिकारिक उत्तर कुंजी में - विकल्प (2) और (3) दोनों सही हैं।
मान लीजिए {En}
मानें कि
निम्न कथनों में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा-
(i) यदि अनुक्रम xn अभिसारी है, तो limsupn En = liminfn En
गणना:
मान लीजिये {En} R का एक उपसमुच्चयों का अनुक्रम है
विकल्प 1 के लिए, यदि अभिसारी है तो limsupn En = liminfn En
विकल्प 1 गलत है।
x
x
x
इसलिए विकल्प (2) और (4) गलत हैं।
इसलिए विकल्प (3) सही है।
बहुपद x3 + 3x − 2023 के कितने वास्तयिक मूल हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
प्रत्येक विषम घात बहुपद p(x) ∈ R(x) का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है
व्याख्या:
p(x) = x3 + 3x − 2023
p'(x) = 3x2 + 3
चूँकि सभी x के लिए x2 ≥ 0 तो
3x2 + 3 > 0 ⇒ p'(x) > 0
इसलिए p'(x) का कोई वास्तविक मूल नहीं है
हम जानते हैं कि p(x) के दो अलग-अलग वास्तविक मूलों के बीच p'(x) का एक वास्तविक मूल होता है।
चूँकि यहाँ p'(x) का कोई वास्तविक मूल नहीं है, इसलिए p(x) का एक से अधिक वास्तविक मूल नहीं हो सकता है।
विकल्प (2) सही है।
प्रत्येक n ≥ 1 के लिए, fn : ℝ → ℝ को
जहाँ √ ऋणात्मक वर्गमूल को दर्शाता है। जहाँ भी
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
फलनों के अनुक्रम की सीमा:
1. मान लीजिए
2. अभिसरण का एक प्रबल रूप एकसमान अभिसरण है। अनुक्रम
व्याख्या: समस्या फलनों के एक अनुक्रम
द्वारा परिभाषित किया गया है और
हमें फलन की सीमा
चूँकि
स्थिति 1:
स्थिति 2:
जब
इसलिए, चूँकि
फलन f(x),
यह फलन सभी
इसलिए, सही विकल्प 4) है।
मान लीजिए कि C सभी समुच्चयों S का संग्रह है जिसके लिए S का घात समुच्चय गणनीय अनंत है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
1. घात समुच्चय: किसी समुच्चय S का घात समुच्चय, जिसे
यदि S में
2. गणनीय अनंत समुच्चय: एक समुच्चय गणनीय अनंत होता है यदि इसके अवयवों को प्राकृत संख्याओं के साथ एक-से-एक संगति में रखा जा सकता है (अर्थात, इसका गणनीयता
3. अगणनीय अनंत समुच्चय: एक समुच्चय अगणनीय होता है यदि वह गणनीय अनंत नहीं है (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ
4. घात समुच्चय और गणनीयता: यदि घात समुच्चय
यह इसलिए है क्योंकि किसी भी परिमित समुच्चय S के लिए, इसका घात समुच्चय
व्याख्या:
विकल्प 1: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि
विकल्प 2: यह असत्य विकल्प है क्योंकि यदि
विकल्प 3: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि
विकल्प 4: यह सत्य है, क्योंकि कोई भी गणनीय अनंत समुच्चय नहीं है जिसका घात समुच्चय गणनीय अनंत हो, इसलिए C रिक्त है।
सही विकल्प 4) है।
मानें कि x, y ∈ [0, 1] इस प्रकार से है कि x ≠ y है। निम्न में से कौन-सा वक्तव्य हर ϵ > 0 के लिए सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा -
वास्तविक संख्याओं का आर्किमिडीयन गुण:
माना a, b ∈ ℝ और a > 0 तो ऐसा कोई N ∈ ℕ है जिसके लिए na > b, ∀n ≥ N (स्थिर प्राकृतिक संख्या)
व्याख्या -
माना ε = a और b = |x - y|
⇒ ऐसा कोई N ∈ ℕ है जिसके लिए nε > b = |x - y| ∀n > N
→ 2n ε > nε > |x - y| ∀n ≥ N
⇒ 2n ε > |x - y| ∀n ≥ N
इसलिए, विकल्प (1) सत्य है
विकल्प (2) के लिए:
माना x = 0, y = 1 और ε =
⇒ |x - y| = 1
यदि संभव हो तो माना 2n ε
अर्थात 2n
इसलिए, विकल्प (2) असत्य है।
विकल्प (3) और (4) के लिए:
माना ε = 1, x = 0 और y = 1
⇒ |x - y| = 1 लेकिन 2-n ε =
इसलिए, |x - y| -n ε किसी भी n ∈ ℕ के लिए सत्य नहीं है।
इसलिए, विकल्प (3) और (4) असत्य हैं।
निम्न में से कौन-सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
मान लीजिए f: ℝ2 → ℝ, f(x, y) = cx, c ∈ ℝ\{0} द्वारा परिभाषित है, तो f एक संतत फलन है।
(1) और (2) असत्य हैं।
यदि संभव हो तो मान लीजिए अपरिमित रूप से अनेक संतत एकैकी प्रतिचित्र f: ℝ2 → ℝ हैं।
तब यह एक संयोजी समुच्चय को एक संबद्ध समुच्चय में प्रतिचित्रित करेगा।
यदि हम f पर विचार करें जहाँ f(0) = c, c ∈ ℝ\{0}, तो
f(ℝ\{0}) = (-∞, c) ∪ (c, ∞), जो संबद्ध नहीं है। इसलिए, हमें एक विरोधाभास प्राप्त होता है।
(3) असत्य है।
इसलिए, विकल्प (4) सही है।
यदि (an)n≥1 वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम हो तो निम्न में से कौन-सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFस्पष्टीकरण:
सुझाव: n > के लिए उपयुक्त विकल्प लेकर विकल्पों को त्यागने का प्रयास करें।
विकल्प (1). मान लें a n = 1 तो
विकल्प (2). मान लीजिए a n = और
विकल्प (3), विकल्प (4): (नोट: हो सकता है आपको अधिक प्रयास करना पड़े) फिर एक समुद्र,
मान लें a n = (-1) n तो
लेकिन यहाँ निश्चित 'b St ऊपर की श्रृंखला cgt बन जाती है। आप b = ½ या = -½ ले सकते हैं लेकिन दोनों नहीं, अन्यथा विशिष्टता खो जाएगी।
⇒ विकल्प (3) गलत है।
विकल्प (4): जैसा कि पहले चर्चा की गई है, b = ½ और
मानें कि S एक अनंत समुच्चय है। यह मानते हुए कि चयन का अभिगृहीत (axiom of choice) लागू है, निम्न में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
एक फलन f : A → B एकैकी होता है यदि |A| = |B| जहाँ |A| A की गणनीयता है।
व्याख्या:
S एक अनंत समुच्चय है
(1): यदि S वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है अर्थात, S =
और परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता = |
चूँकि |S| ≠ |
विकल्प (1) असत्य है
(2): यदि S पूर्णांकों का समुच्चय है तो |S| =
इसलिए S वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के साथ एकैकी नहीं है।
विकल्प (2) असत्य है
(4): यदि S पूर्णांकों का समुच्चय है तो |S| =
इसलिए S के घात समुच्चय की गणनीयता =
अतः S, S के घात समुच्चय के साथ एकैकी नहीं है।
विकल्प (4) असत्य है
(3): यदि S = पूर्णांकों का समुच्चय है तो |S| =
इसी प्रकार किसी भी अनंत समुच्चय के लिए S की गणनीयता S × S की गणनीयता के समान होगी।
अतः S, S × S के साथ एकैकी है।
विकल्प (3) सही है।