জ্যার উপপাদ্য MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Theorem on Chords - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

জ্যাটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি এবং ব্যাসার্ধ 10 সেমি।

অনুসৃত ধারণা:

বৃত্তের ব্যাসার্ধ বৃত্তের জ্যাকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

অনুসৃত সূত্র:

সমকোণী ত্রিভুজে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী

(অতিভুজ)2 = (লম্ব)2 + (ভূমি)2

গণনা:

ধরা যাক দুটি জ্যা AB = 16 সেমি

যেহেতু, বৃত্তের ব্যাসার্ধ জ্যাকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে,

AL = BL = 16/2 = 8 সেমি

Δ AOL তে, ∠ALO = 90° 

⇒ (AO)2 = (OL)2 + (AL)2

⇒ 102 = (OL)2 + (8)2

⇒ (OL)2 = 100 - 64 = 36

⇒ OL = 6 সেমি

∴ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যাটির দূরত্ব 6 সেমি।

প্রদত্ত:

ব্যাসার্ধ (r) = 17 সেমি

জ্যা কেন্দ্র থেকে দূরত্ব (d) = 15 সেমি

অনুসৃত সূত্র:

জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2√(r² - d²)

গণনা:

জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2√(172 - 152)

⇒ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2√(289 - 225)

⇒ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2√64

⇒ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2 × 8

⇒ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 16 সেমি

∴ সঠিক উত্তরটি (4) নম্বর বিকল্প।

প্রদত্ত:

7 একক ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বিপরীত দিকে 5 একক এবং 8 একক দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা রয়েছে।

আমাদের জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করতে হবে।

ব্যবহৃত সূত্র:

একটি সমকোণী ত্রিভুজে:

OM = √(r² - AM²), যেখানে OM হল কেন্দ্র থেকে জ্যা পর্যন্ত লম্ব দূরত্ব।

গণনা:

5 একক দৈর্ঘ্যের জ্যাটির জন্য:

⇒ AM = 1/2 x 5 = 2.5 একক

⇒ OM² = r² - AM²

⇒ OM = √(7² - 2.5²)

⇒ OM = √(49 - 6.25)

⇒ OM = √42.75 = 6.54 একক

8 একক দৈর্ঘ্যের জ্যাটির জন্য:

⇒ CN = 1/2 x 8 = 4 একক

⇒ ON² = r² - CN²

⇒ ON = √(7² - 4²)

⇒ ON = √(49 - 16)

⇒ ON = √33 = 5.74 একক

অতএব, জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব:

⇒ দূরত্ব = OM + ON

⇒ দূরত্ব = 6.54 + 5.74 = 12.28 একক

∴ জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 12.28 একক।

প্রদত্ত:

একটি বৃত্তের AB এবং CD দুটি জ্যা, যখন বর্ধিত করা হয়, বৃত্তের বাইরে P বিন্দুতে মিলিত হয়। যদি AB = 6 সেমি, CD = 3 সেমি এবং PD = 5 সেমি হয়।

গণনা:

PA x PB = PC x PD

(6 + x) x = 8 x 5

⇒ x² + 6x - 40 = 0

⇒ x² + 10x - 4x - 40

⇒ (x + 10) (x - 4) = 0

⇒ x = 4

∴ PB এর মান 4 সেমি।

প্রদত্ত:

বৃত্তের ব্যাস = 26 সেমি

বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = 26/2 = 13 সেমি

জ্যাগুলির দৈর্ঘ্য = 10 সেমি প্রতিটি

দুটি জ্যাের মধ্যবর্তী দূরত্ব = h সেমি

ব্যবহৃত সূত্র:

2a দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা এর জন্য, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব দূরত্ব দেওয়া হয়:

d = √(r² - a²)

যেখানে r = ব্যাসার্ধ, a = জ্যা এর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক 

গণনা:

জ্যা এর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক (a) = 10/2 = 5 সেমি

লম্ব দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে:

d = √(13² - 5²)

d = √(169 - 25) = √144

⇒ d = 12 সেমি

দুটি জ্যা এর মধ্যবর্তী দূরত্ব = 2d = 2 x 12 = 24 সেমি

∴ h এর মান 24 সেমি।

প্রদত্ত:

AX = 24

XB = k

CX = (k + 2)

XD = 16

অনুসৃত সূত্র:

যদি দুটি জ্যা AB এবং CD X বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে, AX × XB = CX × XD

গণনা:

AX × XB = CX × XD

⇒ 24 × k = (k + 2) × 16

⇒ 3k = 2(k + 2)

⇒ 3k - 2k = 4

⇒ k = 4

সুতরাং, k এর মান হল 4

প্রদত্ত:

∠BAC = 60°

অনুসৃত ধারণা:

কেন্দ্রে একটি বৃত্তের একটি চাপ দ্বারা অভিপ্রেত কোণটি বৃত্তের অবশিষ্ট অংশে যে কোনো বিন্দু দ্বারা উপপ্রেত কোণটির দ্বিগুণ হবে।

গণনা:

∠BIC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120° 

প্রদত্ত:

দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 12 সেমি এবং 5 সেমি। তাদের কেন্দ্রগুলির মধ্যে দূরত্ব 25 সেমি।

অনুসৃত সূত্র :

দুটি বৃত্তের প্রত্যক্ষ সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = (D = তাদের কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব, r1 = বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং r2 = ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

গণনা:

ধরি কেন্দ্রগুলি P এবং Q

QN = বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 12 সেমি

PM = ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সেমি

ধরি MN হল প্রতক্ষ্য সাধারণ স্পর্শক

সূত্র অনুযায়ী,

MN এর দৈর্ঘ্য

⇒ 

⇒ 

⇒ 24 সেমি

∴ প্রতক্ষ্য সাধারণ স্পর্শকটির দৈর্ঘ্য 24 সেমি।

প্রদত্ত:

ব্যাসার্ধ = 10 সেমি

ব্যবহৃত ধারণা:

সাদৃশ্যের ধারণা

AAA সাদৃশ্য → যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ অন্যটির অনুরূপ কোণের সমান হয়, তবে ত্রিভুজগুলি সদৃশ।

গণনা:

প্রদত্ত চিত্রে,

ΔDAO ∼ ΔAPO [∵ ∠OAP = ∠ODA = 90° এবং ∠AOD দুটি ত্রিভুজে সাধারণ]

সুতরাং,

AD/AP = DO/AO

⇒ 6/AP = 8/10 [6, 8, 10 পাইথোগোরাস ত্রয়ী]

⇒ AP = 60/8

⇒ AP = 7.5 সেমি

∴ স্পর্শক AP-এর দৈর্ঘ্য হল 7.5 সেমি

প্রদত্ত:

জ্যা = 21 সেমি

ব্যাস = 25 সেমি

ধারণা:

জ্যার উপর কেন্দ্র থেকে আঁকা লম্ব, জ্যাকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য:

OA² = OD² + AD²

গণনা:

ধরা যাক, AB দৈর্ঘ্যের জ্যা 21 সেমি।

⇒ OD হল লম্ব দূরত্ব

⇒ AO বৃত্তের ব্যাসার্ধ

OA2 = OD2 + AD2

⇒ (25/2)2 = OD2 + (21/2)2

⇒ 625/4 = OD2 + 441/4 

⇒ OD2 = 625/4 - 441/4 = 184/4 = 46 

∴ OD = √46

প্রদত্ত:

L হল বৃত্তের কেন্দ্র এবং ML হল LN এর লম্ব

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল MLN = 36

সূত্র:

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr ²

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা

গণনা:

ΔLMN-এ

LM = LN = r (বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

সমকোণীর ক্ষেত্রফল ΔLMN = (1/2) × r × r

⇒ 36 = r ^2/2

⇒ r ² = 72

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr ² = 72π

প্রদত্ত:

O হল বৃত্তের কেন্দ্র, BC হল একটি জ্যা এবং CD হল C বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি স্পর্শক।

∠AOC = 118°

ধারণা:

একটি বৃত্তের একটি চাপ দ্বারা তার কেন্দ্রে থাকা কোণটি বৃত্তের পরিধির যেকোনো বিন্দুতে কোণের দ্বিগুণ।

যেকোনো বৃত্তের জন্য, স্পর্শকটির যোগাযোগের বিন্দুর মাধ্যমে একটি স্পর্শক এবং একটি জ্যার মধ্যবর্তী কোণটি বিকল্প রেখাংশের সমান।

গণনা:

সূত্র অনুযায়ী

∠AOC = 2∠ABC

⇒ 118° = 2∠ABC

⇒ ∠ABC = 118°/2

⇒ ∠ABC = 59°

এছাড়াও, ∠ABC = ∠ACD

⇒ ∠ACD = 59°

∴ ∠ACD হল 59°।

প্রদত্ত:

AB এবং CD একটি বৃত্তের দুটি জ্যা বাহ্যিকভাবে P এ ছেদ করে

AB = 4 সেমি, CD = 11 সেমি এবং PD = 15 সেমি

অনুসৃত সূত্র:

যদি দুটি জ্যা AB এবং CD বাইরের বিন্দু P এ ছেদ করে তাহলে,

PA × PB = PC × PD 

গণনা:

ধরা যাক, PA এর দৈর্ঘ্য 'x'

PC = PD - CD

⇒ 15 - 11

⇒ PC = 4 সেমি

প্রশ্ন অনুযায়ী

PA × PB = PC × PD 

x × (x + 4) = 4 × 15 

⇒ x = 6 

PB = PA + AB 

⇒ 6 + 4 

⇒ 10

∴ PB এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি

প্রদত্ত:

এই দুটি বৃত্তের ব্যাসের সমষ্টি 84 সেমি

গণনা:

একটি বৃত্তের ব্যাস = 84/2 = 42 সেমি

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 42/2 = 21 সেমি

চিত্র অনুযায়ী,

AD = DB

O1O2 = 21

আবার, O1A = O2A = 21 [বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∠ADO1 = 90°

O1D = O2D = 21/2

AD = √(441 - 441/4)

⇒ 21√3/2 

AB = 2 × 21√3/2  = 21√3

∴ সাধারণ জ্যার দৈর্ঘ্য হল 21√3 সেমি 

প্রদত্ত:

∠ACB = 40°

অনুসৃত ধারণা:

কোনো বৃত্তের জ্যা থেকে অঙ্কিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তের পরিধির ওপর যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়।

গণনা:

যেহেতু আমরা জানি,

∠AOB = 2 × ∠ACB     

⇒ ∠AOB = 2 × 40 = 80°

∴ ∠AOB কোণের পরিমাপ 80°