Differential Calculus MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Differential Calculus - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা:

প্রদত্ত, f(x) [3, 4] এবং [6, 8] ব্যবধানে রোলের উপপাদ্য সিদ্ধ করে।

∴ [3, 4] ব্যবধানে, f(3) = f(4)

[6, 8] ব্যবধানে, f(6) = f(8)

∴

= + +

= [f(4) - f(3)] + + [f(8) - f(6)]

= 0 + + 0

=

∴ এর মান এর সমান।

সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 1.

গণনা:

প্রদত্ত,

∴ f₁(x) = x2 - 2x + 7

⇒

⇒ x ∈ [-3, 0] এর জন্য, f₁'(x)

⇒ f(x) [-3, 0] অন্তরালে হ্রাসমান

আবার,

⇒

= [-3, 0] এর জন্য

⇒ f2(x) [-3, 0] অন্তরালে হ্রাসমান এবং ধনাত্মক

∴ f(x) এর পরম সর্বোচ্চ মান x = -3 তে পাওয়া যায়

⇒ α = -3

∴ α এর মান -3।

সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 2

গণনা

⇒

⇒

⇒

⇒

ক্রমবর্ধমান যখন 0 \)

0 \)

অতএব, বিকল্প 3 সঠিক।

গণনা:

বক্ররেখা -এর বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় করার জন্য, আমরা অভিলম্বের নতি নির্ণয় করব এবং তারপর সরলরেখার নতি-বিন্দু রূপ ব্যবহার করব।

আমরা জানি যে, একটি বক্ররেখার একটি বিন্দুতে অভিলম্ব এবং স্পর্শক পরস্পর লম্ব হয়। সুতরাং,

।

এখন, । সুতরাং, ।

অতএব, বক্ররেখা -এর বিন্দুতে অভিলম্বের নতি হল ।

লক্ষ্যণীয় যে, অভিলম্বটি বিন্দুগামী, এর সমীকরণ হল:

।

অর্থাৎ, ।

অতএব, বিকল্প 4 সঠিক।

ধারণা:

'x' এর পরিবর্তনের হার দেওয়া হয়

গণনা:

প্রদত্ত, y = 2x – x ² এবং = 3 একক/সেকেন্ড

তারপর, বক্ররেখার ঢাল, = 2 - 2x = m

⇒ = 0 - 2 ×

= -2(3)

= -6 একক প্রতি সেকেন্ড

সুতরাং, বক্ররেখার ঢাল প্রতি সেকেন্ডে 6 একক হারে হ্রাস পাচ্ছে যখন x প্রতি সেকেন্ডে 3 একক হারে বাড়ছে।

অতএব, বিকল্প (2) সঠিক।

গণনা:

প্রদত্ত: x = t² , y = t³।

⇒ এবং

x-এর সাপেক্ষে পুনরায় অবকলন করে:

⇒

⇒ (∵ )

∴

সঠিক উত্তর হল ।

ধারণা:

প্রতি x ∈ R এর জন্য |x| ≥ 0

গণনা:

ধরুন f(x) = |x + 3| - 2

আমরা জানি যে প্রতি x ∈ R এর জন্য |x| ≥ 0

∴ |x + 3| ≥ 0

অপেক্ষকের সর্বনিম্ন মান অর্জিত হয় যখন |x + 3| = 0 হয়

সুতরাং, f(x) এর ন্যূনতম মান = 0 – 2 = -2

ধারণা:

গণনা:

প্রদত্ত: y = p cos 2x + q sin 2x                    .... (1)

x এর সাপেক্ষে পার্থক্য করার পর, আমরা পাই

আমরা যেমনটি জানি যে, 

পুনরায়, x এর সাপেক্ষে পার্থক্য করার পর, আমরা পাই

সমীকরণ (1) থেকে, আমরা পাই

ধারণা:

সূত্র:

অন্তরক সহগের চেইন নিয়ম:

গণনা:

প্রদত্ত রাশি হল:

3x + 3y = 3x + y

x এর ক্ষেত্রে পার্থক্য করে এবং অন্তরক সহগের চেইন নিয়ম ব্যবহার করে পাই:

⇒ 3x (log 3) + 3y (log 3)  = 3x + y (log 3) (1 + )

⇒ 3x + 3y  = 3x + y + 3x + y 

⇒

অনুসৃত ধারণা:

• যদি f′(x) > 0 তাহলে ফাংশনটি বৃদ্ধি পাচ্ছে বলে বলা হয়।
• যদি f′(x) হ্রাস পাচ্ছে বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = x - e^x

x এর সাথে পার্থক্য করে, আমরা পাই

⇒ f'(x) = 1 - e^x

ফাংশন বাড়ানোর জন্য,

f'(x) > 0

⇒ 1 – ex > 0

⇒ ex 

⇒ ex 0

∴ x

সুতরাং, x ∈ (-∞, 0)

ধারণা:

ল্যাগ্রেঞ্জের গড় মান উপপাদ্য:
যদি একটি ফাংশন f বদ্ধ ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয় [a, b] সন্তোষজনক:

• ফাংশন f বন্ধ ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন [a, b]
• ফাংশন f খোলা ব্যবধানে পার্থক্যমূলক (a, b)

তাহলে, x এর একটি মান আছে = c যেমন f'(c) =  

গণনা:

প্রদত্ত ফাংশন f(x) = ব্যবধানে [1, 3] উভয়ই পার্থক্যমূলক এবং অবিচ্ছিন্ন।

f'(x) =

গড় মান উপপাদ্য দ্বারা, একটি c ∈ [1, 3] বিদ্যমান, যেমন:

f'(c) =

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒ c = √3

গণনা:

y + sin-1 (1 - x2) = ex 

y = ex - sin-1 (1 - x2)

x এর পার্থক্য করে পাই,

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x3) = x5 সব x ∈ R, x ≠ 0 এর জন্য। তাহলে  এর মান

⇒ f (x³) = x⁵ সকল x ∈ R, x ≠ 0 এর জন্য

x এর পার্থক্য করে,

⇒ (d/dx) f (x3) = (d/dx) x5

⇒ f' (x3) (d/dx) x3 = 5x4 

⇒ f' (x3) 3x2 = 5x4 

⇒ f'(x3) = (5/3) x2 

f' (8) নির্ণয় করতে x³ = 8 এর মান বসিয়ে পাই,

যাতে f'(8) =( 5 × (2)²)/3 = 20/3

⇒ 20/3

অনুসৃত ধারণা:

অভিলম্ব হল স্পর্শকের সাথে লম্ব, যেমন mt × mn = -1

m t = dy/dx

গণনা:

একটি ফাংশন f(x) বিবেচনা করি, যেমন স্পর্শকের ঢাল m_t এবং অভিলম্বর ঢাল m_n

এখন, আমরা জানি যে, অভিলম্ব হল স্পর্শকের সাথে লম্ব, যেমন mt × mn = -1

mn × dy/dx = -1

⇒ mn = - dx/dy

এখন, প্রশ্ন অনুসারে, অভিলম্বটি x-অক্ষের সমান্তরাল, তাই অভিলম্বর ঢাল x-অক্ষের ঢালের সমান (অর্থাৎ শূন্য)

∴ mn = 0

⇒ - dx/dy = 0

⇒ dx/dy = 0

∴ একটি প্রদত্ত বক্ররেখার অভিলম্বটি x-অক্ষের সমান্তরাল হবে যদি dx/dy = 0 হয়