বৃত্তের কেন্দ্র MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Centres of a Triangle - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

O হল ত্রিভুজ PQR এর অন্তঃকেন্দ্র।

S হল QR এর উপর একটি বিন্দু যেমন OS ⊥ QR।

∠QOS = 15°।

ব্যবহৃত সূত্র:

অন্তঃকেন্দ্র হল একটি ত্রিভুজের কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলির ছেদবিন্দু।

একটি ত্রিভুজের কোণগুলির সমষ্টি 180°।

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, দুটি সূক্ষ্মকোণের সমষ্টি 90°।

গণনা:

ত্রিভুজ OQS এ, ∠OSQ = 90° (প্রদত্ত OS ⊥ QR)।

∠QOS = 15° (প্রদত্ত)।

অতএব, ∠OQS = 180° - (90° + 15°) = 180° - 105° = 75°।

যেহেতু O হল অন্তঃকেন্দ্র, OQ, ∠PQR কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

অতএব, ∠PQR = 2 × ∠OQS = 2 × 75° = 150°.

∴ ∠PQR = 150°।

ধরি ∠DBP = ∠PBC = a°

এবং ∠ECP + ∠PCB = b°

∠ABC = 180° - 2a° এবং ∠ACB = 180° - 2b°

ΔABC-তে,

180° - 2a° + 72° + 180° - 2b° = 180°

a° + b° = 126°

ΔPBC-তে,

a° + b° + x° = 180°

x° = 180° - 126° = 54°

∠BPC = 90° - (1/2) x ∠A

এখানে, ∠A = 72°

∴ ∠BPC = 90° - (1/2) x 72°

⇒ ∠BPC = 90° - 36° = 54°

প্রদত্ত:

ΔDEF এবং ΔGHI দুটি সদৃশ ত্রিভুজ

DE = 64 সেমি

GH = 24 সেমি

ΔGHI-এর পরিসীমা = 72 সেমি

অনুসৃত সূত্র:

সদৃশ ত্রিভুজগুলিতে, সংশ্লিষ্ট বাহুর অনুপাত সমান

যদি   হয়, তাহলে পরিসীমার অনুপাতও সংশ্লিষ্ট বাহুর অনুপাতের সমান

গণনা:

সংশ্লিষ্ট বাহুর অনুপাত =   =  $\frac{64}{24} = \frac{8}{3}$

⇒ পরিসীমার অনুপাত = 8/3

ΔDEF এর পরিসীমা P _DEF হলে,

⇒ 

⇒ 

⇒ 

EF এবং FD এর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = P _DEF - DE

⇒ 192 - 64 = 128 সেমি
$192 - 64 = 128 \, \text{cm}$

∴ সঠিক উত্তর হল বিকল্প (2)

প্রদত্ত:

ত্রিভুজটির কোণগুলির অনুপাত 2 ∶ 4 ∶ 6 এবং এর পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 12 সেমি।

ধারণা:

যদি কোনও ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ ( R ) এবং কোণগুলি (A, B, C) হয়, তাহলে এই কোণগুলির বিপরীত বাহুগুলি ( a, b, c ) নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যাবে:

ব্যবহৃত সূত্র:

( a = 2R sin A )

( b = 2R sin B )

( c = 2R sin C )

গণনা:

প্রথমে ত্রিভুজটির কোণগুলি নির্ণয় করো:

⇒ ধরি কোণগুলি ( 2x, 4x, 6x )

⇒ ( 2x + 4x + 6x = 180∘)

⇒ ( 12x = 180∘)

⇒ ( x = 15∘)

অতএব, কোণগুলি হল:

⇒ ( A = 2x = 30∘)

⇒ ( B = 4x = 60∘)

⇒ ( C = 6x = 90∘)

এখন, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ ( R = 12 ) সেমি ব্যবহার করে বাহুগুলি নির্ণয় করো:

⇒ ( a = 2 × 12 × sin 30)

⇒ ( a = 24 × 1/2)

⇒ (a = 12) সেমি

⇒ ( b = 2 × 12 × sin 60)

⇒ ( b = 24 × √3/2)

⇒ ( b = 12√3 ) সেমি

⇒ ( c = 2 × 12 × sin 90)

⇒ ( c = 24 × 1)

⇒ ( c = 24 ) সেমি

∴ ত্রিভুজটির বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 12 সেমি, 12√3 সেমি এবং 24 সেমি।

প্রদত্ত:

∠ABC = 70º

∠ACB = 50º

ব্যবহৃত সূত্র:

একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180º।

∠A + ∠B + ∠C = 180º

অন্তঃকেন্দ্রের জন্য, ∠BOC = 90º + (∠A/2)

গণনা:

∠A = 180º - (∠ABC + ∠ACB)

⇒ ∠A = 180º - (70º + 50º)

⇒ ∠A = 60º

এখন, ∠BOC = 90º + (∠A/2)

⇒ ∠BOC = 90º + (60º/2)

⇒ ∠BOC = 90º + 30º

⇒ ∠BOC = 120º

∴ সঠিক উত্তর হলো বিকল্প (1)।

প্রদত্ত:

ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ভিতরে একটি অন্তর্বৃত্ত অঙ্কিত রয়েছে।

সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি ও 24 সেমি।

গণনা:

অতিভুজ² = 10² + 24² (পিথাগোরাসের উপপাদ্য)

অতিভুজ = √676 = 26

ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির সমষ্টি - অতিভুজ)/2

⇒ (10 + 24 - 26)/2

⇒ 8/2

⇒ 4

∴ সঠিক উত্তর বিকল্প 4

প্রদত্ত:

ΔABC-তে, O হল লম্ববিন্দু এবং I হল প্রদত্ত ত্রিভুজের অন্ত:কেন্দ্র,  

যদি ∠BIC - ∠BOC = 90∘

অনুসৃত সূত্র:

(1) ΔABC-তে, I হল প্রদত্ত ত্রিভুজের অন্ত:কেন্দ্র,

(1.1) ∠BIC = 90^∘ + ∠A

(1.2) ∠AIC = 90∘ + ∠B

(1.3) ∠AIB = 90∘ + ∠C

(2) ΔABC-তে, O হল প্রদত্ত ত্রিভুজের লম্ববিন্দু,

(2.1) ∠BOC = 180^∘ - ∠A

(2.2) ∠AOB = 180∘ - ∠C

(3.3) ∠AOC = 180∘ - ∠B

গণনা:

প্রশ্ন অনুযায়ী, প্রয়োজনীয় চিত্র হল:

আমরা জানি যে,

∠BOC = 180∘ - ∠A     ----(1)

∠BIC = 90∘ + ∠A    ----(2)

এখন, সমীকরণ (2) থেকে (1) বিয়োগ করুন।

⇒ ∠BIC - ∠BOC = 90∘ + ∠A  - (180∘ - ∠A )

⇒ 90^∘ = 90∘ + ∠A  - 180∘ + ∠A

⇒ 90∘ = ∠A  - 90∘

⇒ 180∘ = ∠A

⇒ ∠A = 120^∘

∴ নির্ণেয় উত্তর হল 120∘

Additional Information

(1) অন্ত:কেন্দ্র- এটি একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ দ্বিখণ্ডকের ছেদ বিন্দু।

(1.1) কোণ দ্বিখণ্ডক কোণটিকে দুটি সমান অর্ধেক ভাগ করে।

(2) লম্ববিন্দু - এটি শীর্ষবিন্দু থেকে ত্রিভুজের বিপরীত দিকে আঁকা তিনটি উচ্চতার ছেদ বিন্দু।

(2.1) একটি ত্রিভুজের উচ্চতা তার বিপরীত বাহুর ওপর লম্ব।

প্রদত্ত:

ΔPQR-এ,

PQ = 12 সেমি, QR = 16 সেমি এবং PR = 20 সেমি

অনুসৃত ধারণা:

a, b এবং c ত্রিভুজের বাহু নির্দেশ করে এবং A ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে,

তারপর পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ(r) এর পরিমাপ হয়।

r = [abc/4A]

যদি এক বাহুর বর্গ অন্য দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান হয়, তাহলে সবচেয়ে বড় বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ।

অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²

গণনা:

এখানে, দেখা যায়,

(20)2 = (16)2 + (12)2  = 400 

⇒ PR2 = QR2 + PQ2

সুতরাং, ΔPQR একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

ΔPQR এর ক্ষেত্রফল = (½ ) × ভূমি × লম্ব

⇒ ΔPQR এর ক্ষেত্রফল = (½ ) × 16 × 12

⇒ ΔPQR এর ক্ষেত্রফল = 96 সেমি²

পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ(r) = [abc/4 × ক্ষেত্রফল]

পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ(r) = [(12 × 16 × 20)/4 × 96] = 10 সেমি

∴ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সেমি।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, পরিবৃত্তের কেন্দ্রটি কর্ণের মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত। একটি ত্রিভুজের সমস্ত শীর্ষবিন্দু পরিকেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত।

PO = QO = OR = r

⇒ PO = PR/2

⇒ PO = 20/2 = 10 সেমি

∴ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সেমি।

প্রদত্ত:

অন্তঃকেন্দ্র O এবং ∠QOR = 110°

অনুসৃত সূত্র:

PQR ত্রিভুজে, O যদি অন্তঃকেন্দ্র হয়

∠QOR = 90° + ∠QPR/2

গণনা:

প্রশ্ন অনুযায়ী

∠QOR = 90° + ∠QPR/2

110° = 90° + ∠QPR/2

⇒ ∠QPR/2 = 20°

⇒ ∠QPR = 40°

∴ ∠QPR হল 40°

Additional Information 

অন্তঃকেন্দ্র, ∠BIC = 90° + ∠A/2

পরিকেন্দ্র, ∠BSC = 2∠A

প্রদত্ত:

XY = 20 সেমি

XZ = 25 সেমি

YP = a সেমি

PZ = (a + 3) সেমি

ব্যবহৃত ধারণা:

একটি প্রদত্ত ত্রিভুজে, যদি AD ∠BAC-এর কোণের সমদ্বিখণ্ডক হয়, এবং I অন্তঃকেন্দ্র হয় তবে

BD ∶ DC = c ∶ b

AI ∶ ID = (c + b) ∶ a

গণনা:

যেহেতু, XP কোণের সমদ্বিখণ্ডক এবং I অন্তঃকেন্দ্র, তাহলে

YP ∶ PZ = XY ∶ XZ

⇒ a ∶ (a + 3) = 20 ∶ 25

⇒ a/(a + 3) = 4/5

⇒ 5a = 4a + 12

⇒ a = 12 সেমি

YZ = a + a + 3 = 2a + 3

⇒ YZ = 27 সেমি

XI ∶ IP = (XY + XZ) ∶ YZ

⇒ XI ∶ IP = (20 + 25) ∶ 27 = 45 ∶ 27

∴ XI ∶ IP হল 5 ∶ 3

প্রদত্ত:

POR = 140 ডিগ্রি

ব্যবহৃত ধারণা:

একটি ত্রিভুজের অন্তর্কেন্দ্র ত্রিভুজের সকল বাহুর দিকে সমানভাবে আনত থাকে।

অন্তঃকেন্দ্রে কোণ = 90° + শীর্ষ কোণ/2

গণনা:

ধারণা অনুযায়ী,

90° + ∠PQR/2 = 140°

⇒ ∠PQR/2 = 140° - 90°

⇒ ∠PQR/2 = 50°

⇒ ∠PQR = 100°

∴ কোণ PQR 100°

প্রদত্ত:

ΔABC-তে, AG, BH এবং CI লম্ব O তে মিলিত হয়।

∠B = 44°, ∠C = 66°

অনুসৃত ধারণা:

ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°

যে বিন্দুতে লম্বগুলি মিলিত হয় তাকে লম্ববিন্দু বলে।

প্রদত্ত বাহু দ্বারা লম্ববিন্দুতে গঠিত কোণ = [180° - (প্রদত্ত বাহুর বিপরীতে কোণ)]

গণনা:

ত্রিভুজটির কোণগুলির সমষ্টি অনুসারে,

∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ ∠A + 44° + 66° = 180°

⇒ ∠A = 180° - 110°

⇒ ∠A = 70°

প্রদত্ত বাহু দ্বারা লম্ববিন্দুতে গঠিত কোণ = [180° - (প্রদত্ত বাহুর বিপরীতে কোণ)]

⇒ ∠BOC = 180° - 70° = 110°

∴ ∠BOC 110° এর সমান।

প্রদত্ত:

ΔABC-তে

AB = 48 সেমি, BC = 55 সেমি এবং AC = 73 সেমি

O হল ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দু

অনুসৃত ধারণা:

কেন্দ্রবিন্দু মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে ভাগ করে

একটি সমকোণী ত্রিভুজে,

সমকোণী শীর্ষবিন্দু থেকে মধ্যমার দৈর্ঘ্য = অতিভুজের দৈর্ঘ্য/2

গণনা:

যেহেতু 48, 55, এবং 73 একটি ত্রয়ী

সুতরাং, ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং ∠B = 90°

আমরা জানি যে, একটি সমকোণী ত্রিভুজে,

সমকোণী শীর্ষবিন্দু থেকে মধ্যমার দৈর্ঘ্য = অতিভুজের দৈর্ঘ্য/2

সুতরাং, BM = AC/2 = 73/2

এবং আমরা জানি যে, OB : OM = 2 : 1

সুতরাং, OB = (2/3) × (73/2) = 24.33

∴ OB এর দৈর্ঘ্য 24.33 সেমি।

প্রদত্ত:

বৃত্ত-ব্যাসার্ধ = 14 সেমি

অনুসৃত সূত্র :

বৃত্ত-ব্যাসার্ধ, r = a/√3

মধ্যমার দৈর্ঘ্য = সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = √3a/2

যেখানে, a = সমবাহু ত্রিভুজের বাহু

গণনা:

⇒ r = a/√3

⇒ a = 14√3

এখন, মধ্যকার দৈর্ঘ্য = √3a/2

⇒ (√3 × 14√3)/2 = 21 সেমি

∴ বিকল্প 2 সঠিক উত্তর।

প্রদত্ত:

O হল পরিধিকেন্দ্র

∠BOC = 60°

সূত্র ব্যবহৃত:

কেন্দ্রে উপস্থিত কোণটি বৃত্তে উপস্থিত কোণের দ্বিগুণ

গণনা:

∠BOC = 2 x ∠BAC

⇒ 60° = 2 x ∠BAC

⇒ ∠BAC = 30°

∴ ∠BAC হল 30°